En general, una ecuación algebraica o polinómica es una ecuación de la forma:
P= 0
P=Q10
donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (por ejemplo, números racionales, números reales, números complejos). Una ecuación algebraica es univariante si implica una sola variable. Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llama multivariante (variables Múltiple, x, y, z, etc.). El término ecuación polinómica suele preferirse una ecuación algebraica.
Una ecuación racional es una ecuación con expresiones racionales en cada lado del signo de igual. UNA TÉCNICA para resolver ecuaciones racionales es la multiplicación cruzada — que algunos libros la llaman propiedad de los medios/extremos.
Dos ecuaciones o sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en uno equivalente, siempre que las operaciones tengan sentido para las expresiones a las que se aplican:
Sumar o restablecer la misma cantidad a ambos lados de una ecuación. Esto demuestra que toda ecuación es equivalente a una ecuación en la que el lado derecho es cero.
Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero.
Aplicar una identidad para transformar un lado de la ecuación. Por ejemplo, expansión de un producto o factorización de una suma.
Para un sistema: agregue a ambos lados de una ecuación el lado correspondiente de otra ecuación, multiplicado por la misma cantidad.
Dada la ecuación f(x) = b, el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por S = f–1(b), donde f–1 es la imagen inversa de f. Si S es el conjunto vacío, la ecuación no es soluble; si tiene solo un elemento, la ecuación tendrá solución única; y si S posee más de un elemento, todos ellos serán soluciones de la ecuación.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata solo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sino determinar si una ecuación determinada tiene solución y si esta es única. Uno de los métodos más corrientes para probar que existe una solución, consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topología. No es el único: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si estos sistemas tienen solución. No obstante, el álgebra carece de recursos para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una solución, hay que recurrir al análisis complejo y
, por lo tanto, a la topología .
A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resultados; Solo se obtuvo en casos particulares, pero no se encontró una solución general. A principios del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; El acto seguido por Évariste Galois demostró, utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.
Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron, en su formulación, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemática.
Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que equivalían a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado «método de la falsa posición».
Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro Los nueve capítulos sobre el arte matemático, en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El griego matemático Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separados por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes, también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores; los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.
